Question

已知两个向量集合M={

a

|

a

=(

1

2

-t，

1

2

+t)，t∈R}，N={

b

|

b

=(cosα，λ+sinα)，α∈R}，若M∩N是只有一个元素的集合，则λ的值为

 

．

Answer 1

分析：由已知中两个向量集合M={

a

|

a

=(

1

2

-t，

1

2

+t)，t∈R}，N={

b

|

b

=(cosα，λ+sinα)，α∈R}，M∩N是只有一个元素的集合，我们易得关于t的方程组

1 2 -t=cosα 1 2 +t=λ+sinα

只有一个解，利用三角函数平方关系，易得2t2-2λt+(λ2-λ-

1

2

)=0只有一个解，根据二次方程根的个数与△的关系，即可得到满足条件的△的值．

解答：解：∵集合M={

a

|

a

=(

1

2

-t，

1

2

+t)，t∈R}，
N={

b

|

b

=(cosα，λ+sinα)，α∈R}，
若M∩N是只有一个元素的集合，
则

1 2 -t=cosα 1 2 +t=λ+sinα

只有一个解
即方程(

1

2

-t)2+(

1

2

+t-λ)2=1只有一个解
即2t2-2λt+(λ2-λ-

1

2

)=0只有一个解
故△=4λ2-8(λ2-λ-

1

2

)=0
解得λ=1±

2

故答案为：1±

2

点评：本题考查的知识点是相等向量与相反向量，其中根据向量相等结合已知条件构造关于t的方程组是解答本题的关键．