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已知常数a≠0,数列{an}前n项和为Sn,且
(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列;
(Ⅱ)若对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若,数列{cn}满足:,对于任意给定的正整数k,是否存在p,q∈N*,使得ck=cp•cq?若存在,求出p,q的值(只要写出一组即可);若不存在说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)由,知Sn=nan-an(n-1),an+1=Sn+1-Sn,由此能够证明数列{an}是等差数列.
(Ⅱ)由an=1+2a(n-1),对任意的正整数n恒成立,知1+2a(n-1)≤2n3-13n2+11n+1对任意的正整数n恒成立,故a≤对任意的正整数n恒成立,由此能求出实数a的取值范围.
(Ⅲ)由a=,知an=n,,因为对任意正整数k,都存在正整数p,q,使ck=cpcq,所以,由此能够求出结果.
解答:(Ⅰ)证明:∵
∴Sn=nan-an(n-1),an+1=Sn+1-Sn,…(2分)
∴an+1=[(n+1)an+1-a(n+1)n]-[nan-an(n-1)]
化简得:an+1-an=2a(常数),…(4分)
∴数列{an}是以1为首项,公差为2a的等差数列;…(5分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知an=1+2a(n-1),
对任意的正整数n恒成立,
∴1+2a(n-1)≤2n3-13n2+11n+1对任意的正整数n恒成立,…(6分)
∴a≤对任意的正整数n恒成立,…(7分)
∴a不大于,n∈Z+最小值.
==n2-=(n-2-,n∈Z+
∴当n=3时,取最小值=-20.
∴实数a的取值范围是(-∞,-20].…(10分)
(Ⅲ)解:∵an=1+2a(n-1),a=
∴an=n,又∵
设对任意正整数k,都存在正整数p,q,使ck=cpcq

…(14分)
令q=k+1,则p=k(k+2012)或q=2k,p=2k+2012,
∴ck=ck(k+2012)•ck+1(或)ck=c2k+2012•c2k.…(16分)
点评:本题考查等差数列的证明,考查实数的取值范围的求法,考查实数取值的判断.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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已知常数a≠0,数列{an}前n项和为Sn,且Sn=an2-(a-1)n
(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列;
(Ⅱ)若an≤2n3-13n2+11n+1对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=
1
2
,数列{cn}满足:cn=
an
an+2012
,对于任意给定的正整数k,是否存在p,q∈N*,使得ck=cp•cq?若存在,求出p,q的值(只要写出一组即可);若不存在说明理由.

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Sn
n
+a(n-1)

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(2)若bn=3n+(-1)nan,且数列{bn}是单调递增数列,求实数a的取值范围;
(3)若a=
1
2
,数列{cn}满足:cn=
an
an+2011
,对于任意给定的正整数k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要写出一组即可);若不存在,说明理由.

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已知常数a≠0,数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数学公式
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)若数学公式,且数列{bn}是单调递增数列,求实数a的取值范围;
(3)若数学公式,数列{cn}满足:数学公式,对于任意给定的正整数k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要写出一组即可);若不存在,说明理由.

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