【题目】[2018·郴州期末]已知三棱锥中,垂直平分,垂足为,是面积为的等边三角形,,,平面,垂足为,为线段的中点.
(1)证明:平面;
(2)求与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)要证线面垂直,一般先证线线垂直,这可由和是等边三角形及O是AB中点易得;
(2)要求直线与平面所成的角,一种方法作出线面角的平面角,然后解三角形得结论,也可建立空间直角坐标系,如解析中的坐标系,写出各点坐标,求出直线的方向向量与平面的法向量,由方向向量与法向量的夹角与直线和平面所成角互余可得.
试题解析:
(1)证明:∵垂直平分,垂足为,∴.
∵,∴是等边三角形.
又是等边三角形.
∴是中点,,.
∵,,平面,∴平面.
(2)解:由(1)知,平面平面.
因为平面与平面的交线为.
∵平面.∴.
又等边面积为,∴
又,∴ 是中点.
如图建立空间直角坐标系,
,,,
所以,,
设平面的法向量为,则
,取,则,.
即平面的一个法向量为.
所以与平面所成角的正弦值为.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点F在直线上。
(Ⅰ)求抛物线C的方程。
(Ⅱ)过点做互相垂直的两条直线与曲线C交于A,B两点,与曲线C交于E,F两点,线段AB、EF的中点分别为M、N,求证:直线MN过定点P,并求出定点P的坐标。
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【题目】为打赢打好脱贫攻坚战,实现建档立卡贫困人员稳定增收,某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业,助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为平方米的矩形温室大棚,并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽的通道,两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米,如图所示.
(1)将两个养殖池的总面积表示为的函数,并写出定义域;
(2)当温室的边长取何值时,总面积最大?最大值是多少?
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【题目】如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=,∠BAD=90°.
(Ⅰ)求证:AD⊥BC;
(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
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【题目】已知函数, .
(1)求的单调区间;
(2)若图像上任意一点处的切线的斜率,求的取值范围;
(3)若对于区间上任意两个不相等的实数都有成立,求的取值范围.
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【题目】已知椭圆: ()的左右焦点分别为, ,若椭圆上一点满足,且椭圆过点,过点的直线与椭圆交于两点 .
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作轴的垂线,交椭圆于,求证: , , 三点共线.
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【题目】如图,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分别为,AC,,的中点,AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.
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【题目】以“你我中国梦,全民建小康”为主题、“社会主义核心价值观”为主线,为了了解两个地区的观众对2018年韩国平昌冬奥会准备工作的满意程度,对地区的100名观众进行统计,统计结果如下:
在被调查的全体观众中随机抽取1名“非常满意”的人是地区的概率为0.45,且.
(Ⅰ)现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查,则应抽取“满意”的地区的人数各是多少?
(Ⅱ)在(Ⅰ)抽取的“满意”的观众中,随机选出3人进行座谈,求至少有两名是地区观众的概率?
(Ⅲ)完成上述表格,并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系?
附: , .
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【题目】若数列满足:对于任意均为数列中的项,则称数列为“ 数列”.
(1)若数列的前项和,求证:数列为“ 数列”;
(2)若公差为的等差数列为“ 数列”,求的取值范围;
(3)若数列为“ 数列”,,且对于任意,均有,求数列的通项公式.
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