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【题目】[2018·郴州期末]已知三棱锥中,垂直平分,垂足为是面积为的等边三角形,平面,垂足为为线段的中点.

(1)证明:平面

(2)求与平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析:

(1)要证线面垂直,一般先证线线垂直,这可由是等边三角形及OAB中点易得;

(2)要求直线与平面所成的角,一种方法作出线面角的平面角,然后解三角形得结论,也可建立空间直角坐标系,如解析中的坐标系,写出各点坐标,求出直线的方向向量与平面的法向量,由方向向量与法向量的夹角与直线和平面所成角互余可得.

试题解析:

(1)证明:∵垂直平分,垂足为,∴.

,∴是等边三角形.

是等边三角形.

中点,.

平面,∴平面.

(2)解:由(1)知,平面平面.

因为平面与平面的交线为.

平面.∴.

又等边面积为,∴

,∴ 中点.

如图建立空间直角坐标系

所以

设平面的法向量为,则

,取,则.

即平面的一个法向量为.

所以与平面所成角的正弦值为.

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.

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