Question

5．已知f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求f（f（2）））的值；
（2）若实数a满足f（a²）=$-\frac{3}{5}$，且lg2^a-1＜0，求a的值；
（3）设函数f₁（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$（x≠-1），对于一切正整数n，都有f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），且f₃（x）=f₄（x），求f₂₀₁₂（x）的值；
（4）设函数φ（x）=$\frac{1+x}{x-1}|x-2{|}^{\frac{1}{2}}$（x≠1），若函数g（x）=f（x）•φ（x），t=a²-2a+$\frac{13}{3}$（a∈R），试判断g（1.2），g（2.5），g（t）的大小关系．（请按由大到小的顺序排）

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，先求出f（2），再计算f（f（2））的值．
（2）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-{a}^{2}}{1+{a}^{2}}=-\frac{3}{5}}\\{{2}^{a-1}＜1}\end{array}\right.$，由此能求出a．
（3）由已知得当n为奇数时，${f}_{n}（x）=\frac{1-x}{1+x}$；n为偶数时，f_n（x）=x．由此能求出结果．
（4）由已知得t=a²-2a+$\frac{13}{3}$=（a-1）²+$\frac{10}{3}$≥$\frac{10}{3}$，g（x）=f（x）•φ（x）=-|x-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$，由此能判断g（1，2），g（2，5），g（t）的大小关系．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，∴f（2）=$\frac{1-2}{1+2}$=-$\frac{1}{3}$，
∴f（f（2））=f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2．
（2）∵实数a满足f（a²）=$-\frac{3}{5}$，且lg2^a-1＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-{a}^{2}}{1+{a}^{2}}=-\frac{3}{5}}\\{{2}^{a-1}＜1}\end{array}\right.$，
解得a=-2．
（3）∵f₁（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$（x≠-1），对于一切正整数n，都有f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），
∴${f}_{2}（x）=\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{x+x}}$=x，${f}_{3}（x）=\frac{1-x}{1+x}$，
∴当n为奇数时，${f}_{n}（x）=\frac{1-x}{1+x}$；n为偶数时，f_n（x）=x．
∵f₃（x）=f₄（x），
∴$\frac{1-x}{1+x}=x$，整理，得x²+2x-1=0，解得$x=-1±\sqrt{2}$，
∴f₂₀₁₂（x）=x=-1$±\sqrt{2}$．
（4）∵φ（x）=$\frac{1+x}{x-1}|x-2{|}^{\frac{1}{2}}$（x≠1），函数g（x）=f（x）•φ（x），t=a²-2a+$\frac{13}{3}$（a∈R），
∴t=a²-2a+$\frac{13}{3}$=（a-1）²+$\frac{10}{3}$≥$\frac{10}{3}$，
g（x）=f（x）•φ（x）=-|x-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$，
∴g（1.2）=-|1.2-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{0.8}$，
g（2.5）=-|2.5-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{0.5}$，
g（t）=-|t-2|${\;}^{\frac{1}{2}}$≤-$\sqrt{\frac{4}{3}}$，
∴g（2.5）＞g（1.2）＞g（t）．

点评 本题考查函数值的求法，考查实数a的值的求法，考查三个数的大小的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．