Question

利用数学归纳法证明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

＞

13

14

时，由k递推到k+1时，左边应添加的因式为（　　）

• A．

  1

  2(k+1)

• B．

  1

  2k+1

  +

  1

  2(k+1)

• C．

  1

  2k+1

  -

  1

  2(k+1)

• D．

  1

  2k+1

Answer 1

分析：只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．

解答：解：当n=k时，左边的代数式为

1

k+1

+

1

k+2

+… +

1

k+k

，
 当n=k+1时，左边的代数式为 

1

k+2

+

1

k+3

+… +

1

k+k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

，
故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

=

1

2k+1

-

1

2(k+1)

，
故选：C．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．