Question

如图，在棱长为1的正方体ABCE-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
（1）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（2）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，表示出直线D₁E所在的向量与AF所在的向量，利用线面垂直关系得到向量的数量积为0，进而得到答案．
（2）分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，利用向量的夹角与二面角之间的关系可得二面角的余弦值．

解答：解：（1）以点A为原点，

AB

，

AD

，

AA1

分别为x轴，y轴，z轴正向建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A（0，0，0），B₁（1，0，1），E（1，

1

2

，0）
设F（a，1，0）（0≤a≤1）则

D1E

=(1，-

1

2

，-1)，

AB1

=(1，0，1)，

AF

=(a，1，0)，
∴

D1E

• 

AB1

=0即D₁E⊥AB₁
要使得D₁E⊥平面AB₁F，
∴必须且只需

D1E

⊥

AF

即

D1E

•

AF

=a-

1

2

=0，即：a=

1

2

．
当a=

1

2

时，点F为CD的中点，则D₁E⊥AF
又因为D₁E⊥AB₁，AF∩AB₁=A
所以D₁E⊥平面AB₁F．
所以当点F为CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F．
（2）由（1）可得点F为CD的中点，所以F（

1

2

，1，0），所以

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)．
因为C1(1，1，1)，E(1，

1

2

，0)，所以

EC1

=(0，

1

2

，1)．
设

n

=(x，y，z)是平面C1EF的一个法向量，
则

n

⊥

EC1

，

n

⊥

EF

，
于是

n • EC1 = 1 2 y+z=0  n • EF =- 1 2 x+ 1 2 y=0

取z=1，则y=-2，x=-2，所以

n

=（-2，-2，1）是平面C₁EF的一个法向量．
又因为

AA1

=（0，0，1）是平面AEF的一个法向量，
所以cos＜

AA1

，

n

＞=

AA1 • n

| AA1 || n |

=

1

3

，
因为二面角C₁-EF-A为钝角，所以二面角C₁-EF-A的余弦值-

1

3

．

点评：解决此类问题的熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系进而利用空间向量解决线面垂直、平行关系，以及空间角与空间距离等问题．