【题目】已知函数.
(1)设.
①若,求函数
的零点;
②若函数存在零点,求
的取值范围.
(2)设,若对任意
恒成立,试求
的取值范围.
【答案】(1)1,;(2)
.
【解析】
分析:(1)①将代入解析式,分类讨论解方程即可得结果;②讨论
的符号,同一坐标系中作出两个函数的图象,利用数形结合可得结果;(2)对任意
恒成立,等价于
的最大值与最小值的差不大于
,分三种情况讨论函数的单调性,分别求出最大值与最小值,综合三种情况可得结果.
详解:(1)F(x)=f(x)﹣g(x)=x﹣a﹣a|x|,
①若a=,则由F(x)=x﹣
|x|﹣
=0得:
|x|=x﹣
,
当x≥0时,解得:x=1;
当x<0时,解得:x=(舍去);
综上可知,a=时,函数y=F(x)的零点为1;
②若函数y=F(x)存在零点,则x﹣a=a|x|,
当a>0时,作图如下:
由图可知,当0<a<1时,折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点,即函数y=F(x)存在零点;
同理可得,当﹣1<a<0时,求数y=F(x)存在零点;
又当a=0时,y=x与y=0有交点(0,0),函数y=F(x)存在零点;
综上所述,a的取值范围为(﹣1,1).
(2)∵h(x)=f(x)+g(x)=x﹣a+a|x|,x∈[﹣2,2],
∴当﹣2≤x<0时,h(x)=(1﹣a)x﹣a;
当0≤x≤2时,h(x)=(1+a)x﹣a;
又对任意x1,x2∈[﹣2,2],|h(x1)﹣h(x2)|≤6恒成立,
则h(x1)max﹣h(x2)min≤6,
①当a≤﹣1时,1﹣a>0,1+a≤0,h(x)=(1﹣a)x﹣a在区间[﹣2,0)上单调递增;
h(x)=(1+a)x﹣a在区间[0,2]上单调递减(当a=﹣1时,h(x)=﹣a);
∴h(x)max=h(0)=﹣a,又h(﹣2)=a﹣2,h(2)=2+a,
∴h(x2)min=h(﹣2)=a﹣2,
∴﹣a﹣(a﹣2)=2﹣2a≤6,解得a≥﹣2,
综上,﹣2≤a≤﹣1;
②当﹣1<a<1时,1﹣a>0,1﹣a>0,∴h(x)=(1﹣a)x﹣a在区间[﹣2,0)上单调递增,
且h(x)=(1+a)x﹣a在区间[0,2]上也单调递增,
∴h(x)max=h(2)=2+a,h(x2)min=h(﹣2)=a﹣2,
由a+2﹣(a﹣2)=4≤6恒成立,即﹣1<a<1适合题意;
③当a≥1时,1﹣a≤0,1+a>0,h(x)=(1﹣a)x﹣a在区间[﹣2,0)上单调递减
(当a=1时,h(x)=﹣a),h(x)=(1+a)x﹣a在区间[0,2]上单调递增;
∴h(x)min=h(0)=﹣a;
又h(2)=2+a>a﹣2=h(﹣2),
∴h(x)max=h(2)=2+a,
∴2+a﹣(﹣a)=2+2a≤6,解得a≤2,又a≥1,
∴1≤a≤2;
综上所述,﹣2≤a≤2.
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【题目】设满足以下两个条件的有穷数列,
,
,
为
阶“期待数列”:
①;
②.
()分别写出一个单调递增的
阶和
阶“期待数列”.
()若某
阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式.
()记
阶“期待数列”的前
项和为
,试证:
.
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【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下,观察图形,回答下列问题:
(1)这一组的频数、频率分别是多少?
(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(分及以上为及格)和平均数?
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【题目】在平面直角坐标系中,已知矩形的长为2,宽为1,
.
边分别在
轴.
轴的正半轴上,
点与坐标原点重合(如图所示)。将矩形折叠,使
点落在线段
上。
(1)若折痕所在直线的斜率为,试求折痕所在直线的方程;
(2)当时,求折痕长的最大值;
(3)当时,折痕为线段
,设
,试求
的最大值。
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【题目】某玩具所需成本费用为P元,且P=1 000+5x+x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q(x)=a+
(a,b∈R),
(1)问:玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少?
(2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本).
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【题目】某校高三年级进行了一次学业水平测试,用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩,准备进行分析和研究.经统计,成绩的分组及各组的频数如下: ,2;
,3;
,10;
15; ,12;
,8.
(1)完成样本的频率分布表,画出频率分布直方图;
(2)估计成绩在85分以下的学生比例;
(3)请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数(精确到0.01).
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的三边,a2﹣(b﹣c)2=bc,
(1)求角A;
(2)若BC=2 ,角B等于x,周长为y,求函数y=f(x)的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,设圆x2+y2-4x=0的圆心为Q.
(1)求过点P(0,-4)且与圆Q相切的直线的方程;
(2)若过点p(0,-4)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B,以OA、OB为邻边做平行四边形OABC,问是否存在常数k,使得平行四边形OABC为矩形?请说明理由.
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