Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=

7

，点E为线段AD上的一点．现将△DCE沿线段EC翻折到PAC，使得平面PAC⊥平面ABCE，连接PA，PB．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，
∵AB=AD=4，BC=CD=

7

∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC，并取AO中点F，连接EF，
∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，PH⊥AC
∴PH⊥平面ABCE，∴∠PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，
由（Ⅰ）可知，AC⊥BD，且AO=2

3

，CO=

3

，
又PE=2，PC=

7

，设CH=x，则有PH=

7-x2

，EH=

PE2-PH2

=

x2-3

又∵F为AO的中点，在Rt△EFH中，FH=2

3

-x，EF=1
由勾股定理得，(2

3

-x)2+1=x2-3，解得x=

4

3

3

，
∴EH=

2

3

3

，PH=

5

3

3

∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即sin∠PEH=

EH

PE

=

3

3

．