Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.

（1）证明：平面；

（2）若平面平面，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1) 因为,由,可知，.即证得平面,进而可得平面.

(2)合理建立坐标系,通过求出平面与平面的法向量,利用公式即可求得.

解：（1）在图1中，，

，，，

所以，即在图2中，

，.

又，所以，又，

所以.

（2）由已知，，

又由（Ⅰ）知，，

所以为二面角的平面角，所以.

如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，

因为，，

所以，，

，，

，.

设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，

由得取，

由得取，

从而，

即平面与平面夹角的余弦值为.