Question

如图，己知正四棱棱柱AC₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C和A₁C
（1）在线段CC₁上求一点E使得A₁C⊥面BED（即求出CE的长）；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：法一：（1）由题设知，欲使得段CC₁上求一点E使得A₁C⊥面BED，又B₁C是A₁C在外侧面上的投影，故必有B₁C⊥BE，可证得△BCB₁～△BCE，进而可求得CE：BC=1：2，求出CE的值．
（2）点A到平面A₁B₁C的距离可转化为点B到平面A₁B₁C的距离，即求BF；
（3）连接DF可证得∠EDF就是DE与平面A₁B₁C所成角，正弦值易求
法二：本题具备建立空间坐标系的条件，故可用空间向量法求解
（1）证A₁C⊥面BED问题可转化为A₁C与平面的法向量共线的问题，
（2）点A到平面A₁B₁C的距离转化成向量BC在平面法向量上的投影的长度来解决；
（3）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值可转化为求DE与平面法向量的余弦的绝对值问题．

解答：解：法一：（1）∵A₁C⊥面BED，∴A₁C⊥BE，
由A₁B₁⊥面BB₁C₁C知，A₁C为面BB₁C₁C的斜线，B₁C为其射影，∴B₁C⊥BE．
∵△BCB₁～△BCE，∴

CE

BC

=

BC

BB1

=

1

2

?CE=

1

2

．
（2）可以证明AB∥面A₁B₁C，所以点A到平面A₁B₁C的距离与点B到平面A₁B₁C的距离相等；
又BE⊥A₁C，BE⊥B₁C，∴BE⊥面A₁B₁C，∴线段BF的长就是所求的距离．在△BCB₁中可以求得BF=

2 5

5

．
（3）连接DF有（2）知EF⊥面A₁B₁C，所以∠EDF就是DE与平面A₁B₁C所成角．在△BCE中求得EF=

5

10

，
△DCE中求得DE=

5

2

，∴sin∠EDF=

EF

DE

=

1

5

．
法二：本题还可以用向量法求解如下：
（1）根据正四棱棱柱性质，建立空间直角坐标系A-xyz，
B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），B₁（1，0，2），A₁（0，0，2）．
设E（1，1，z），
∵A₁C⊥面BED，
∴A₁C⊥BE，∴

A1C

•

BE

=0，
∴（1，1，-2）•（0，1，z）=0，
∴z=CE=

1

2

．
（2）由（1）可以证明BE⊥面A₁B₁C，所以

BE

=(0，1，

1

2

)就是面A₁B₁C的法向量，
所以点A到平面A₁B₁C的距离d=|

AA1 • BE

| BE |

|=

2 5

5

．
（3）设直线DE与平面A₁B₁C所成角为θ，则sinθ=|

DE • BE

| DE |×| BE |

|=

1

5

．

点评：本是考点是点、线、面间的距离计算，综合考查了线面垂直，点到面的距离、线面角，由两种方法解题过程可以看出，解决本题用空间向量方法较好，用空间向量求线面角、面面角、点到面的距离等立体几何问题大降低了解决问题时的思维难度，但其缺点也很明显，即运算量稍大，解完本题请比较一下两种方法的优劣．