Question

【题目】已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值﹣e﹣2 ． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且 对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数为f′（x）=1+a+lnx，由f′（x）=1+a+lnx=0，
解得x=e﹣1﹣a ， 即当x=e﹣1﹣a ， 时，函数取得极小值﹣e﹣2 ．
即f（e﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a﹣1﹣a）=﹣e﹣1﹣a=﹣e﹣2 ，
所以解的a=1，即实数a的值为1．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x（1+lnx），所以设 ，
则 ．
令h（x）=x﹣2﹣lnx，x＞1．
因为 ，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4=2﹣2ln2＞0，
所以h（x）在（1，+∞）上存在唯一的一个实数根x0 ， 满足x0∈（3，4），且h（x0）=0．
， 即x0﹣2﹣lnx0=0，所以lnx0=x0﹣2．
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，此时g′（x）＜0，
当x∈（x0 ， +∞）时，h（x）＞0，此时g′（x）＞0．
所以 在x∈（1，x0）时，单调递减，在x∈（x0 ， +∞）上单调递增，
所以. = ∈（3，4）．
所以要使 对任意x＞1恒成立，则k＜g（x）min=x0∈（3，4），
因为k∈Z，所以要k≤3，即k的最大值为3．
【解析】（Ⅰ）求函数的定义域，利用极小值﹣e﹣2 ， 求实数a的值；（Ⅱ）利用导数求函数的最值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值(极值反映的是函数在某一点附近的大小情况)．