Question

如图所示，A为椭圆＝1(a＞b0)上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂．当AC垂直于x轴时，恰好AF₁∶AF₂＝3∶1．

(1)求该椭圆的离心率；

(2)设，试判断λ₁＋λ₂是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当AC垂直于x轴时，AF1∶AF2＝3∶1．由AF1＋AF2＝2a，得AF1＝，AF2＝．在Rt△AF1F2中，＋(2c)2，所以()2＝()2＋(2c)2，由此解得e＝； 　　(2)由e＝，则，－b＝c，焦点坐标为F1(－b，0)，F2(b，0)，则椭圆方程为＝1，化简有x2＋2y2＝2b2． 　　设A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)， 　　①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为y＝(x－b)代入椭圆方程有(3b2－2bx0)y2＋2by0(x0－b)y－＝0． 　　由韦达定理得：y0y2＝，∴y2＝所以 　　λ2＝，同理可得λ1＝，故λ1＋λ2＝． 　　②若直线AC⊥x轴，x0＝b，λ2＝1，λ1＝＝5，∴λ1＋λ2＝6．综上所述：λ1＋λ2是定值6． 　　分析：本题在解决过程中要注意充分利用椭圆的定义以及向量与相关的线段长度间的关系，从而将问题解决．