Question

观察下列两个结论：
（Ⅰ）若a，b∈R⁺，且a+b=1，则

1

a

+

1

b

≥4；
（Ⅱ）若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，则

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9；先证明结论（Ⅱ），再类比（Ⅰ）（Ⅱ）结论，请你写出一个关于n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n的结论？（写出结论，不必证明．）

Answer 1

分析：利用条件a+b+c=1，构造柯西不等式（1+1+1）²≤（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

），进行求解．再类比（Ⅰ）（Ⅱ）结论写出一个关于n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n的结论即可．

解答：解：由柯西不等式（1+1+1）²≤（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

），
得3²≤1×（

1

a

+

1

b

+

1

c

），
所以

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9，
类比（Ⅰ）（Ⅱ）结论，写出一个关于n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n的结论是：
若a_i∈R⁺（i=1，2，3，…，n），且

n

i=1

ai=1，则

n

i=1

1

ai

≥n²．

点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，要求熟练掌握柯西不等式的应用．