Question

函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：

①对任意x∈R，有f(x)＞0;

②对任意x、y∈R，有f(xy)=［f(x)］^y；

③f()＞1.

(1)求f(0)的值;

(2)求证:f(x)在R上是单调增函数;

(3)若a＞b＞c＞0,且b²=ac,求证:f(a)+f(c)＞2f(b).

Answer 1

解法一:（1）解：令x=0,y=2,得f(0)=[f(0)]².

∵f(0)＞0,∴f(0)=1.

(2)证明：任取x₁、x₂∈(-∞,+∞),且x₁＜x₂.

设x₁=p₁,x₂=p₂,则p₁＜p₂.

f(x₁)-f(x₂)=f(p₁)-f(p₂)=[f()]-[f()].

∵f()＞1,p₁＜p₂,∴f(x₁)＜f(x₂).∴f(x)在R上是单调增函数.

(3)证明：由(1)(2)知f(b)＞f(0)=1,∴f(b)＞1.

∵f(a)=f(b·)=,f(c)=f(b·)=,

∴f(a)+f(c)=+[f(b)]＞2.而a+c＞2=2=2b,

∴2＞2=2f(b).∴f(a)+f(c)＞2f(b).

解法二:(1)解：∵对任意x、y∈R,有f(xy)=[f(x)]^y,

∴f(x)=f(x·1)=[f(1)]^x.∴当x=0时f(0)=[f(1)]⁰.

∵任意x∈R,f(x)＞0,∴f(0)=1.

(2)证明：∵f()＞1, ∴f(1)=f(3×)=[f()]³＞1.∴f(x)=[f(1)]^x是R上的单调增函数，

即f(x)是R上的单调增函数.

(3)证明：f(a)+f(c)=[f(1)]^a+[f(1)]^c＞2.而a+c＞2=2=2b,

∴2＞2=2f(b).∴f(a)+f(c)＞2f(b).