Question

2．某地一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f（t）=24-8sin（ωt+$\frac{π}{3}$），t∈[0，24），ω∈（0，$\frac{π}{8}$），且早上8时的温度为24℃．
（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？
（2）当地有一通宵营业的超市，为了节省开支，规定在环境温度超过28℃时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？

Answer 1

分析 （1）根据题意求出ω的值，确定函数的解析式，利用正弦函数的图象与性质求得出现最高温时t的值；
（2）令f（t）=28，求出t的值即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（t）=24-8sin（ωt+$\frac{π}{3}$），
且早上8时的温度为24℃，即f（8）=24，
∴sin（8ω+$\frac{π}{3}$）=0，
∴8ω+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得ω=$\frac{1}{8}$（k-$\frac{1}{3}$）π，k∈Z；
又ω∈（0，$\frac{π}{8}$），
∴k=1时，ω=$\frac{π}{12}$；
∴函数f（t）=24-8sin（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$），t∈（0，24]；
又sin（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$）=-1时，f（t）取得最大值，
且$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]，
∴令$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，解得t=14，
即这一天在14时（也是下午2时）出现最高温度，最高温度是32°C；
（2）依题意：令24-8sin（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$）=28，可得
sin（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
∴$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$或$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$=$\frac{11π}{6}$，
解得t=10或t=18，
即中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭．

点评 本题考查了三角函数在实际应用中的问题，解题时应建立数学模型，利用三角函数解决实际问题，是基础题目．