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【题目】已知抛物线Cy2=2px过点P(1,1).过点(0, )作直线l与抛物线C交于不同的两点MN,过点Mx轴的垂线分别与直线OPON交于点AB,其中O为原点.

(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.

【答案】(1)方程为.焦点坐标为(,0),准线方程为.(2)见解析

【解析】试题分析:(Ⅰ)代入点求得抛物线的方程,根据方程表示焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)设直线l的方程为),与抛物线方程联立,再由根与系数的关系,及直线ON的方程为,联立求得点的坐标为,再证明.

试题解析:(Ⅰ)由抛物线C 过点P(1,1),得.

所以抛物线C的方程为.

抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为.

(Ⅱ)由题意,设直线l的方程为),l与抛物线C的交点为 .

,得.

.

因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为,点A的坐标为.

直线ON的方程为,点B的坐标为.

因为

所以.

A为线段BM的中点.

练习册系列答案
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A. 上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线

B. 上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线

C. 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线

D. 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线

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