Question

过点A（0，2）与曲线y=-x³相切的直线方程是________．

Answer 1

y=-3x+2
分析：设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式记作①，然后求出曲线方程的导函数，把设出的切点的横坐标代入导函数即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，记作②，联立①②即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程即可．
解答：设切点坐标为（x₁，y₁），过（0，2）切线方程的斜率为k，
则y₁=-x₁³①，
又因为y′=-3x²，所以k=y′|_x=x1=-3x₁²，
则过点（0，2）与曲线y=-x³相切的直线方程是：y=（-3x₁²）x+2，
则y₁=（-3x₁²）x₁+2②，
由①和②得：-x₁³=（-3x₁²）x₁+2，化简得：2x₁³=2，解得x₁=1，
所以过点（0，2）与曲线y=-x³相切的直线方程是：y=-3x+2．
故答案为：y=-3x+2．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．