Question

16．已知函数$f（x）={x^3}-{x^2}+（{2\sqrt{2}-3}）x+3-2\sqrt{2}$，f（x）与x轴依次交于点A、B、C，点P为f（x）图象上的动点，分别以A、B、C，P为切点作函数f（x）图象的切线．
（1）点P处切线斜率最小值为2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$
（2）点A、B、C处切线斜率倒数和为0．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，配方，即可得到所求切线的斜率的最小值；
（2）由题意可设f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），求出导数，分别求出点A、B、C处切线斜率，再求倒数，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）函数$f（x）={x^3}-{x^2}+（{2\sqrt{2}-3}）x+3-2\sqrt{2}$，
导数为f′（x）=3x²-2x+2$\sqrt{2}$-3
=3（x-$\frac{1}{3}$）²+2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$，
当x=$\frac{1}{3}$时，切线的斜率取得最小值2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$；
（2）可令f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），
f′（x）=（x-x₂）（x-x₃）+（x-x₁）[（x-x₂）+（x-x₃）]，
f′（x₁）=（x₁-x₂）（x₁-x₃），f′（x₂）=（x₂-x₁）（x₂-x₃），
f′（x₃）=（x₃-x₁）（x₃-x₂），
可得点A、B、C处切线斜率倒数和为$\frac{1}{f′（{x}_{1}）}$+$\frac{1}{f′（{x}_{2}）}$+$\frac{1}{f′（{x}_{3}）}$
=$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{3}}$-$\frac{1}{{x}_{2}-{x}_{3}}$）+$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$
=$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{2}-{x}_{3}）}$+$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$
=-$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$+$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$=0．
故答案为：（1）2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$，（2）0．

点评 本题考查导数的概念和应用：求切线的斜率，考查化简整理的运算能力，属于中档题．