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（不等式选讲选做题）已知x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值________．

$\text{[math]}$
分析：解法一：利用柯西不等式即可得出．
解法二：利用向量的数量积的性质即可得出．
解答：解法一：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3³），
∴ $\text{[math]}$ ，
当且仅当 $\text{[math]}$ ，x+2y+3z=1，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时取等号．
即x²+y²+z²的最小值为 $\text{[math]}$ ．
解法二：设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴1=x+2y+3z≤ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线时取等号，即 $\text{[math]}$ ，x+2y+3z=1，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时取等号．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：熟练掌握向量的数量积的性质和正确理解柯西不等式是解题的关键．

练习册系列答案

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