Question

设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x）=f（x+2）；③当0≤x＜1时，f（x）=2^x-1．则f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

)+f(2)+f(

5

2

)=

 

．

Answer 1

分析：根据f（x）是定义在R上的函数且f（x）+f（-x）=0，求得f（0）=0，进而根据f（x）=f（x+2）求得f（1）和f（2）的值，进而利用当0≤x＜1时，f（x）的解析式求得f（

1

2

）的值，利用函数的周期性求得f（

5

2

）=f（

1

2

），f（

3

2

）=-f（

1

2

），进而分别求得f（

5

2

）和f（

3

2

）的值．代入f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

)+f(2)+f(

5

2

)中求得答案．

解答：解：由f（x）是定义在R上的函数且f（x）+f（-x）=0，
所以f（0）=0，又f（x）=f（x+2）
所以f（1）=f（-1）=-f（1）?f（1）=0且f（2）=f（0）=0，
f(

1

2

)=2

1

2

-1=

2

-1，
f(

5

2

)=f(

1

2

)，
f(

3

2

)=f(-

1

2

)=-f(

1

2

)
∴f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

)+f(2)+f(

5

2

)=f(

1

2

)=

2

-1．
故答案为：

2

-1

点评：本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用．解题的过程要特别留意函数解析式的定义域．