Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog 

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，对任意正整数n，S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，根据2（a₃+2）=a₂+a₄，可求得a₃．进而求得a₂+a₄=20．两式联立方程即可求得a₁和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得a_n．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，再利用错位相减法求得S_n，再由S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立进而求得m的范围．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．
依题意，
有2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，
得a₃=8．
∴a₂+a₄=20．
∴

a1q+a1q3=20  a3=a1q2=8

解之得

q=2 a1=2

，或

q= 1 2 a1=32

又{a_n}单调递增，
∴q=2，a₁=2，∴a_n=2ⁿ，
（2）b_n=2ⁿ•log

1

2

2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ①
-2S_n=1×2²+2×2³++（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，S_n=2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
由S_n+（n+m）a_n+1＜0，
即2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹+m•2ⁿ⁺¹＜0对任意正整数n恒成立，
∴m•2ⁿ⁺¹＜2-2ⁿ⁺¹．
对任意正整数n，
m＜

1

2n

-1恒成立．
∵

1

2n

-1＞-1，∴m≤-1．
即m的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题主要考查等比数列的性质．本题考查了学生综合运算的能力．