Question

已知

a

=(sinx，x)，

b

=(1，-cosx)，f(x)=

a

•

b

且x∈（0，2π），记f（x）在（0，2π）内零点为x₀．
（1）求当f（x）取得极大值时，

a

与

b

的夹角θ．
（2）求f（x）＞0的解集．
（3）求当函数

f′(x)

x2

取得最小值时f（x）的值，并指出向量

a

与

b

的位置关系．

Answer 1

分析：（1）由题设知f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），故f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，由此能求出当f（x）取得极大值时，

a

与

b

的夹角θ．
（2）由x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点，知f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．由此能求出f（x）＞0的解集．
（3）构造函数h(x)=

f ′(x)

x2

=

xsinx

x2

=

sinx

x

，则h′(x)=

xcosx-sinx

x2

=

-f(x)

x2

，由此能求出当函数

f′(x)

x2

取得最小值时f（x）的值和此时向量

a

与

b

的位置关系．

解答：（本题满分14分）
解：（1）∵

a

=(sinx，x)，

b

=(1，-cosx)，f(x)=

a

•

b

且x∈（0，2π），
∴f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），
∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
由f′（x）=0，x∈（0，2π），得x=π，
∴x∈（0，π），f'（x）＞0，则f（x）单调递增；
当x∈（π，2π），f'（x）＜0，则f（x）单调递减．
∴x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．…（4分）
此时

a

=（sinπ，π）=（0，π），

b

=（1，-cosπ）=（1，1）
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

0+π

π• 2

=

2

2

，
∵0≤θ≤π，∴θ=

π

4

．…（6分）
（2）由（1）知x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．
且f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．
∴x∈（0，π）时，f（x）＞0，且f（π）•f（2π）＜0，
得x₀∈（π，2π），
∴x∈（0，x₀）时，f（x）＞0，即f（x）＞0的解集为（0，x₀）．…（9分）
（3）令h(x)=

f ′(x)

x2

=

xsinx

x2

=

sinx

x

，
∵h′(x)=

xcosx-sinx

x2

=

-f(x)

x2

，
∴h′（x）=0，得x=x₀，
∴x∈（0，x₀），f（x）＞0，得h′（x）＜0，则h（x）单调递减，
当x∈（x₀，2π），f（x）＜0，得h′（x）＞0，则h（x）单调递增，
∴x=x₀是h（x）在（0，2π）内的极小值，且h（x₀）为唯一极值，即为最小值，
此时f（x）=f（x₀）=0，即

a

•

b

=0，
∴

a

⊥

b

．

点评：本题考查向量夹角的大小的求法，考查不等式的解法，考查最小值的求法和向量位置关系的判断，综合性强，难度大，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法的合理运用．