Question

给定下列命题：
（1）空间直角坐标系O-XYZ中，点A（-2，3，-1）关于平面XOZ的对称点为A′（-2，-3，-1）．
（2）棱长为1的正方体外接球表面积为8π．
（3）已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ+c（c为常数），则c=-1．
（4）若非零实数a₁，b₁，a₂，b₂满足

a1

a2

=

b1

b2

，则集合{x|a₁x+b₁＞0}={x|a₂x+b₂＞0}．
（5）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则点P₁（1，

S1

1

）、P₂（2，

S2

2

）、…、P_n(n，

Sn

n

)（n∈N^*）必在同一直线上．
以上正确的命题是

（1）（3）（5）

（请将你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：（1）根据空间直角坐标系中点两点关于坐标平面对称的规律，可得与点A（1，2，3）关于平面xoz的对称点，它的横坐标和竖坐标与P相等，而纵坐标与P互为相反数，因此不难得到正确答案．
（2）直接求出正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径即可求出球的表面积．
（3）由数列{a_n}为等比数列可得S_n=A•qⁿ+B必满足A+B=0，从而可求C=-1．
（4）先根据

a1

a2

=

b1

b2

，进行赋值说明此时A≠B，进行判定即可．
（5）由于

Sn

n

=

1

2

(a1+an)=a1+

n-1

2

d，

S1

1

=a1，故得到P₁P_n所在直线的斜率为

1

2

d，即得结论．

解答：解：（1）设所求的点为A′（x，y，z），
∵点A′（x，y，z）与点A（-2，3，-1）关于平面XOZ的对称，
∴A、A′两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，
即x=-2，y=-3，z=-1，得A′（-2，-3，-1），故（1）正确；
（2）正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，
所以，球的直径为：

3

，半径为：

3

2

．
球的表面积为：4πr²=3π，故（2）错误；
（3）由题意可得，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=C+2ⁿ-C-2^n-1=2^n-1；a₁=S₁=C+2
由数列{a_n}为等比数列可得a₁=C+2适合上式，即C+2=1
∴C=-1，故（3）正确；
（4）∵

a1

a2

=

b1

b2

，∴取a₁=1，a₂=-1，b₁=-1，b₂=1，A≠B，故（4）错误；
（5）由于

Sn

n

=

1

2

(a1+an)=a1+

n-1

2

d，

S1

1

=a1，
故得到P₁P_n所在直线的斜率为

Sn n - S1 1

n-1

=

a1+ n-1 2 d-a1

n-1

=

1

2

d，
故点P₁（1，

S1

1

）、P₂（2，

S2

2

）、…、P_n(n，

Sn

n

)（n∈N^*）必在同一直线上，故（5）正确．
故答案为 （1）（3）（5）

点评：考查了空间点与点关于平面对称，球的体积和表面积，等比数列的定义的应用的等知识点，属于中档题．