Question

17．函数f（x）满足对任意实数x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1．证明：如果对任意x＞0，f（x）＞0，则符合条件的f（x）是唯一的．

Answer 1

分析 利用抽象函数的先判断函数的单调性，利用反证法证明唯一性．

解答 解：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增．
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴当y=x时，f（2x）=2f（x），
则可以得到f（nx）=nf（x）．
不妨设f（x）=x，
可用“反证法”证明f（x）是唯一的，即f（x）=x恒成立．
假设存在f（a）≠a，（f（a）＞a或f（a）＜a），
由于f（x+y）=f（x）+f（y），
而a可以拆成a个1，即a=1+1+1+…+1（a个），
∴，f（a）=f（1+1+1+…+1）=f（1）+f（1）+f（1）+…+f（1）=af（1）=a，这与假设相矛盾．
∴这样的实数a不存在，即符合条件的f（x）是唯一的．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的单调性结合题意利用反证法证明是解决本题的关键．难度较大．