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20.已知函数f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若对任意的x∈(0,+∞),不等式lnx≤kx2-1恒成立,求实数k的取值范围.

分析 (1)先求导,根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间和极值;
(2)对于恒成立的问题,分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值.

解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$,x>0,
∴f′(x)=$\frac{1-1-lnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$,
令f′(x)=0,解得x=1,
当x>1时,f′(x)<0,函数单调减,
当0<x<1时,f′(x)>0,函数单调增,
∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)为减函数,
当x=1函数有极大值,极大值为f(1)=1,无极小值;
(2)任意的x∈(0,+∞),不等式lnx≤kx2-1恒成立,
∴k≥$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$在(0,+∞)上恒成立,
设g(x)=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$,
∴g′(x)=$\frac{-1-2lnx}{{x}^{3}}$,
令g′(x)=0,解得x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$,
当x>$\frac{1}{\sqrt{e}}$时,f′(x)<0,函数单调减,
当0<x<$\frac{1}{\sqrt{e}}$时,f′(x)>0,函数单调增,
∴g(x)max=g($\frac{1}{\sqrt{e}}$)=$\frac{e}{2}$,
∴k≥$\frac{e}{2}$,
∴实数k的取值范围[$\frac{e}{2}$,+∞).

点评 本题考查了恒成立的问题,熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键,属于中档题.

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②函数f(x)的单调递增区间为[$\frac{3}{2}$+2k,$\frac{5}{2}$+2k](k∈N)
③函数y=f(x)-ln(x-2)仅有一个零点;
④?x1,x2∈[1,+∞)都有|f(x1)-f(x2)|≤$\frac{3}{2}$恒成立;
⑤对任意x>0,不等式f(x)≤$\frac{m}{x}$恒成立,则实数m的取值范围为($\frac{5}{4}$,+∞)
其中正确的结论的序号为①③④.

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