分析 (1)先求导,根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间和极值;
(2)对于恒成立的问题,分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值.
解答 解:(1)∵f(x)=$\frac{1+lnx}{x}$,x>0,
∴f′(x)=$\frac{1-1-lnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$,
令f′(x)=0,解得x=1,
当x>1时,f′(x)<0,函数单调减,
当0<x<1时,f′(x)>0,函数单调增,
∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)为减函数,
当x=1函数有极大值,极大值为f(1)=1,无极小值;
(2)任意的x∈(0,+∞),不等式lnx≤kx2-1恒成立,
∴k≥$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$在(0,+∞)上恒成立,
设g(x)=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$,
∴g′(x)=$\frac{-1-2lnx}{{x}^{3}}$,
令g′(x)=0,解得x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$,
当x>$\frac{1}{\sqrt{e}}$时,f′(x)<0,函数单调减,
当0<x<$\frac{1}{\sqrt{e}}$时,f′(x)>0,函数单调增,
∴g(x)max=g($\frac{1}{\sqrt{e}}$)=$\frac{e}{2}$,
∴k≥$\frac{e}{2}$,
∴实数k的取值范围[$\frac{e}{2}$,+∞).
点评 本题考查了恒成立的问题,熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-4,+∞) | B. | (-∞,-1)∪(3,+∞) | C. | (-∞,-1]∪[3,+∞) | D. | (-4,-1]∪[3,+∞) |
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