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(本题满分13分)

已知直线与椭圆相交于AB两点.

   (Ⅰ)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长;

   (Ⅱ)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率 时,求椭圆的长轴长的最大值.

 

【答案】

解:(Ⅰ)椭圆的方程为 ,

  ;

(II)长轴长的最大值为

                                        

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

(1)根据题意的几何性质,得到系数a,b,c的关系式,进而得到椭圆的方程的求解。

(2)设出直线方程,与椭圆方程联立,得到关于x的一元二次方程,然后分析向量的数量积为零表示垂直,以及结合椭圆的离心率的范围得到所求。

解:(Ⅰ)   

    ∴椭圆的方程为                             ……………………… 2分

    联立

   

                                 …………………… 6分

(II)

   

      整理得 

   

    整理得:                        

    代入上式得

                 

   

    由此得,故长轴长的最大值为

                                                ………………………………… 13分

 

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