Question

已知抛物线y²=4x截直线y=2x+b所得的弦长为|AB|=3

5

．
（1）求b的值；
（2）在x轴上求一点P，使△APB的面积为39．

Answer 1

分析：（2）将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得b值，从而解决问题．
（2）设P（a，0），先求点P（a，0）到AB：2x-y-4=0距离，再根据

1

2

|AB|d=39，求出a 值，可求P得坐标．

解答：解：（1）联立方程组

y 2=4x y=2x+b

，消去y得方程：4x²+（4b-4）x+b²=0
x₁+x₂=1-b．x₁x₂=

b 2

4

|AB|=

5

(x 1+x 2) 2-4x 1x 2

=

5

(1-b) 2-b 2

=3

5

解得b=-4--------------------（8分）
（2）将b=-4代入直线y=2x+b得AB所在的直线方程为2x-y-4=0
设P（a，0），则P到直线AB的距离为d=

|2a-4|

5

；
△APB的面积S=

1

2

×

|2a-4|

5

×3

5

=39
则a=-11或15
所以P点的坐标为（-11，0）或（15，0）------------（16分）

点评：本题主要考查了直线与抛物线相交求解弦长，关键是根据方程的根与系数的关系表示由AB=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，这是圆锥曲线的考查的热点之一．