Question

（理）若二次项系数为a的二次函数f（x）同时满足如下三个条件，求f（x）的解析式．
①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③对任意实数x，都有f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立．

Answer 1

分析：方法一：设f（x）=ax²+bx+c（a＞0），由已知①②可得

a+b+c=0 - b 2a = 3 2

，然后由f（x）≥

1

4a

-

1

2

可得ax2-3ax+2a-

1

4a

+

1

2

≥0恒成立，结合二次函数的性质可求a，进而可求函数解析式
方法二：设f(x)=a(x-

3

2

)2+k，由f（1）=0，可得k=-

1

4

a，而f（x）=a(x-

3

2

)2-

a

4

≥

1

4a

-

1

2

-恒成立，则-

a

4

≥

1

4a

-

1

2

，且a＞0，可求a，从而可求

解答：解：方法一：利用一般解析式．设f（x）=ax²+bx+c（a＞0），
依题意得：

a+b+c=0 - b 2a = 3 2

⇒

b=-3a c=-a-b=2a

由f（x）≥

1

4a

-

1

2

得ax2-3ax+2a-

1

4a

+

1

2

≥0恒成立，
∴

a＞0 △=9a2-4a(2a- 1 4a + 1 2 )≤0

即

a＞0 (a-1)2≤0

∴a=1，
∴f（x）=x²-3x+2
方法二：依题意可设f(x)=a(x-

3

2

)2+k，由f(1)=

1

4

a+k=0，k=-

1

4

a，
从而f（x）=a(x-

3

2

)2-

a

4

≥

1

4a

-

1

2

-恒成立，则-

a

4

≥

1

4a

-

1

2

，且a＞0，
∴

a2-2a+1

4a

≤0，a＞0，∴a=1．
从而f（x）=(x-

3

2

)2-

1

4

=x²-3x+2

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的函数解析式，解答本题的关键是由二次函数的性质求解f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立问题．