Question

已知方向向量为v=（1，

3

）的直线l过点（0，-2

3

）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足

OM

•

ON

=

4

3

6

．cot∠MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）解法一：直线l：y=

3

x-2

3

，过原点垂直l的直线方程为y=-

3

3

x，这两个方程联立可知x=

3

2

．再由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，可知

a2

c

=3．由此可以求出椭圆C的方程．
解法二：直线l：y=

3

x-3

3

．设原点关于直线l对称点为（p，q），则

q 2 = 3 • p 2 -2 3 3 • q p =-1.

解得p=3．由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，知

a2

c

=3．由此能够推出椭圆C的方程．
（II）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入

x2

6

+

y2

2

=1，整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，再由根与系数的关系和点到直线 的距离求解．

解答：解：（I）解法一：直线l：y=

3

x-2

3

，①
过原点垂直l的直线方程为y=-

3

3

x，②
解①②得x=

3

2

．
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴

a2

c

=2×

3

2

=3．
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1③
解法二：直线l：y=

3

x-3

3

．
设原点关于直线l对称点为（p，q），则

q 2 = 3 • p 2 -2 3 3 • q p =-1.

解得p=3．
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴

a2

c

=3．
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1③

（II）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入③，
整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=-

12k2

3k2+1

，x₁•x₂=

12k2-6

3k2+1

，
|MN|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 12k2 3k2+1 )2-4• 12k2-6 3k2+1

=

2 6 (1+k2)

3k2+1

，
点O到直线MN的距离d=

|2k|

1+k2

．
∵

OM

•

ON

=

4

3

6

cot∠MON，即|

OM

|•|

ON

|cos∠MON=

4

3

6

cos∠MON

sin∠MON

≠0，
∴|

OM

|•|

ON

|sin∠MON=4

6

，∴S_△OMN=

2

3

6

．∴|MN|•d=

4

3

6

，
即4

6

|k|

k2+1

=

4

3

6

（3k²+1），
整理得k²=

1

3

，∴k=±

3

3

．
当直线m垂直x轴时，也满足S_△OMN=

2

3

6

．
故直线m的方程为y=

3

3

x+

2 3

3

，或y=-

3

3

x-

2 3

3

，或x=-2．
经检验上述直线均满足

OM

•

ON

≠0．
所以所求直线方程为y=

3

3

x+

2 3

3

，或y=-

3

3

x-

2 3

3

，或x=-2．

点评：本题综合考查直线的椭圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要注意培养运算能力．