Question

设定义在R上的函数f(x)=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄,a₀,a₁,a₂,a₃,a₄∈R,当x=-1时，f(x)取得极大值，且函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称.

(1)求f(x)的表达式;

(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在［,］上?如果存在,求出这两点的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)设x_n=,y_m=(m,n∈N^*),求证:|f(x_n)-f(y_m)|＜.

Answer 1

解:(1)将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位,得到y=f(x)的图象,

所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即y=f(x)是奇函数.

所以f(x)=a₁x³+a₃x.由题意，得

所以f(x)=x³-x.

(2)由(1)得f′(x)=x²-1,

假设存在两切点为(x₁,f(x₁)),(x₂,f(x₂))(x₁,x₂∈［,］),

则f′(x₁)·f′(x₂)=(x₁²-1)(x₂²-1)=-1.

因为(x₁²-1)、(x₂²-1)∈［-1,1］,

所以或即或

从而可得所求两点的坐标分别为(0,0),(,)或(0,0),(-,).

(3)证明：因为当x∈［,1)时,f′(x)＜0,所以f(x)在［,1)上单调递减.

由已知得x_n∈［,1),所以f(x_n)∈(f(1),f()］,即f(x_n)∈(,］.

注意到x＜-1时，f′(x)＞0,－1＜x＜1时，f′(x)＜0,

故f(x)在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减.

由于y_m=,所以y_m∈(,］.因为＜-1＜,

所以f(y_m)∈(f(-2),f(-1)］,即f(y_m)∈(,］，

所以|f(x_n)-f(y_m)|=f(y_m)-f(x_n)＜-(-)=.