Question

13．设p：函数y=$\sqrt{a{x}^{2}-ax+1}$的定义域为R，q：$\frac{{a}^{2}+a+1}{{a}^{2}-4a+3}$＞0，如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p是真命题：a=0显然成立，a≠0，则需满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，从而可得出0≤a≤4；若命题q为真：容易判断a²+a+1＞0恒成立，从而需a²-4a+3＞0，这便得到a＜1，或a＞3，而根据条件可判断出p，q的关系：p真q假，和p假q真两种情况，求出每种情况a的取值范围再求并集即可得出实数a的取值范围．

解答 解：p：①a=0时，y=1，满足定义域为R；
②a≠0时，则：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$；
解得0＜a≤4；
∴0≤a≤4；
q：${a}^{2}+a+1=（a+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}＞0$；
∴a²-4a+3＞0；
解得a＜1，或a＞3；
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题；
∴p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤4}\\{1≤a≤3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0，或a＞4}\\{a＜1，或a＞3}\end{array}\right.$；
解得1≤a≤3，或a＜0，或a＞4；
∴实数a的取值范围为{a|a＜0，或1≤a≤3，或a＞4}．

点评 考查函数定义域的概念，二次函数的取值情况和判别式△的关系，对于命题p不要漏了a=0的情况，解一元二次不等式，以及p∨q，p∧q的真假和p，q的关系．