Question

（2012•陕西三模）已知a＞0，函数f(x)=

a

x

+lnx-1（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4，当a=1时，若对任意x₁∈（0，e），存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令f′(x)=

1

x

-

a

x2

=0，可得x=a，进而a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数；0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，故可求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=1时，函数f（x）在x₁∈（0，e）的最小值为0，对任意x₁∈（0，e），存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），则需要f（x）_min≥g（x）_min，根据g（x）=（x-b）²+4-b²，即可求出满足条件的实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）令f′(x)=

1

x

-

a

x2

=0，可得x=a
若a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数，∴f(x)min=f(e)=

a

e

；
0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，∴f（x）_min=f（a）=lna；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=1时，函数f（x）在x₁∈（0，e）的最小值为0，
对任意x₁∈（0，e），存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），则需要f（x）_min≥g（x）_min，
g（x）=（x-b）²+4-b²
当b≤1时，g（x）_min=g（1）=5-2b≤0不成立
当b≥3时，g（x）_min=g（3）=13-6b≤0恒成立
当1＜b＜3时，g（x）_min=g（b）=4-b²≤0此时2≤b＜3
综上知，满足条件的实数b的取值范围{b|b≥2}

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是将对任意x₁∈（0，e），存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），转化为f（x）_min≥g（x）_min求解．