Question

已知0＜α＜

π

2

，方程x²sinα+y²cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围

(

π

4

，

π

2

)

．

Answer 1

分析：方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x²、y²的分母均为正数，且y²的分母较大，由此建立关于α的不等式．最后结合锐角范围内正弦和余弦的大小关系，解这个不等式，即得α的取值范围．

解答：解：方程x²sinα+y²cosα=1化成标准形式得：

x2

1 sinα

+

y2

1 cosα

=1
．∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，
∴

1

cosα

＞

1

sinα

＞0，解之得sinα＞cosα＞0
∵0＜α＜

π

2

，
∴

π

4

＜α＜

π

2

，即α的取值范围是(

π

4

，

π

2

)
故答案为：(

π

4

，

π

2

)

点评：本题给出含有字母参数的方程表示椭圆，要我们求参数的取值范围，着重考查了椭圆标准方程和三角函数的大小比较等知识，属于基础题．