Question

已知二项式(2x+

1

x

)n的展开式中各项系数和为729，则展开式中的常数项为

60

．

Answer 1

分析：根据题意，将x=1代入(2x+

1

x

)n中，可得3ⁿ=729，解可得n的值，结合二项式定理可得（2x+

1

x

）⁶展开式的通项，令x的指数为0，可得r的值，进而将r的值代入通项，可得其展开式的常数项，即可得答案．

解答：解：在(2x+

1

x

)n中，令x=1可得，其展开式中各项系数和为3ⁿ，
结合题意，可得3ⁿ=729，
解可得n=6，
则（2x+

1

x

）⁶展开式的通项为T_r+1=C₆^r•（2x）^6-r•（

1

x

）^r=C₆^r•2^6-r•x

12-3r

2

；
若

12-3r

2

=0，解可得，r=4；
则有T₅=C₆⁴•2²=60，即其常数项为60；
故答案为60．

点评：本题考查二项式系数的性质，解题的关键是根据题干中“展开式中各项系数和为3ⁿ”，用特殊值法，求出n的值．