Question

3．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的渐近线，一条准线为x=$\frac{18}{5}$；
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦点，实轴长为18；
（3）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1共渐近线，且过点（-3，4$\sqrt{3}$）；
（4）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}$=1有相同交点，且过点（2$\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 利用待定系数法，设出方程，求出参数，即可求双曲线的标准方程．

解答 解：（1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的渐近线，方程设为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，一条准线为x=$\frac{9λ}{5\sqrt{λ}}$=$\frac{18}{5}$，∴λ=4，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$；
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦点，则c=10，实轴长为18，则a=9，∴b=$\sqrt{19}$，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{81}-\frac{{y}^{2}}{19}$=1；
（3）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1共渐近线，方程设为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ′，过点（-3，4$\sqrt{3}$），代入可得λ′=-2，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{32}-\frac{{x}^{2}}{18}$=1；
（4）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}$=1有相同焦点，方程设为$\frac{{x}^{2}}{9+m}$-$\frac{{y}^{2}}{7-m}$=1，过点（2$\sqrt{3}$，2），代入可得m=-1，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

点评 本题考查求双曲线的标准方程，考查待定系数法的运用，正确设出方程是关键．