Question

设函数f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+ax．
（Ⅰ）函数f（x）在（11，2012）内单调递减，求a范围；
（Ⅱ）若实数a满足1＜a≤2，函数g（x）=4x³+3bx²-6（b+2）x（b∈R）的极小值点与f（x）的极小值点相同，求证：g（x）的极大值小于等于10．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由题意知，a≥2012
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=（x-1）（x-a）．由1＜a≤2，得到函数f（x）的极小值点，
求导g′（x），得到函数g（x）的极小值点a=-

b+2

2

，进而得到g（x）的极大值点，得到函数的极大值，
又由1＜a≤2，得到g（x）_极大值=g（1）=6a-2≤10．得证．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
由于函数f（x）在（11，2012）内单调递减，则a≥2012；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f′（x）=（x-1）（x-a）．
由于a＞1，所以f （x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a．
而g′（x）=12x²+6bx-6（b+2）=6（x-1）（2x+b+2），所以a=-

b+2

2

，
即b=-2（a+1）．又因为1＜a≤2，
所以  g（x）_极大值=g（1）=4+3b-6（b+2）=-3b-8=6a-2≤10．
故g（x）的极大值小于等于10．

点评：此题要求学生会利用导函数的正负研究函数的单调性，是一道中档题．