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设平面上A、B两点坐标分别是(-cos
α
2
  ,sin
α
2
)   ,(cos
2
  ,sin
2
) .  α∈[0,
π
2
]

(1)求|
AB
|的最大值和最小值;
(2)设函数f(x)=
AB
2
+4a|
AB
|-3,a∈R,求f(x)的最小值.
分析:(1)由题意可得
AB
的坐标,再根据向量的模的定义求得|
AB
|
2
=2+2cos2α.再由α∈[0,
π
2
],可得cos2α∈[-1,1],由此可得|
AB
|取得最大值和最小值.
(2)由于函数 f(x)=4(cosα+a)2-3-4a2,α∈[0,
π
2
],分当a>0时、当-1≤a≤0时、当a<-1时三种情况,分别利用二次函数的性质求得f(x)的最小值.
解答:解:(1)由题意可得
AB
=(cos
2
+cos
α
2
,sin
2
-sin
α
2
),
|
AB
|
2
=(cos
2
+coa
α
2
)
2
+(sin
2
-sin
α
2
)
2
=2+2cos2α,由α∈[0,
π
2
],可得cos2α∈[-1,1],
∴当cos2α=-1时,|
AB
|取得最小值为0,当cos2α=1时,|
AB
|取得最大值为2.
(2)由于函数f(x)=|
AB
|
2
+4a|
AB
|-3=2+2cos2α+4a
2+2cos2α
,α∈[0,
π
2
],
∴f(x)=4cos2α+8acosα-3=4(cosα+a)2-3-4a2
当a>0时,则cosα=0时,函数f(x)取得最小值为-3;
当-1≤a≤0时,则cosα=a时,函数f(x)取得最小值为-3-4a2
当a<-1时,则cosα=1时,f(x)取得最小值为1+8a.
点评:本题主要考查求向量的模,三角函数的恒等变换、二次函数在闭区间上的最值,属于中档题.
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(1)设
a
b
,是两个非零向量,如果(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)
,且(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)
,求向量
a
b
的夹角大小;
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+5
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,且(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
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)
,求向量
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