Question

直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在直线，若A（-4，2），B（3，1）
（1）求点A关于y=2x对称点E的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）设点A关于y=2x对称点E的坐标为E（a，b），则y=2x是线段AE的垂直平分线，由此能求出点E坐标．
（2）设C（x，2x）由直线y=2x是三角形ABC中∠C的平分线所在直线，知

(x+4)2+(2x-2)2

(x-3)2+(2x-1)2

=

|2×(-4)-2|

|2×3-1|

，由此能求出C点坐标．
（3）由A（-4，2），B（3，1），C（2，4），利用斜率公式能得到△ABC是以∠C为直角的直角三角形，再用平面向量公式分别求出|AC|和|BC|，由此能求出△ABC的面积．

解答：解：（1）设点A关于y=2x对称点E的坐标为E（a，b），
则y=2x是线段AE的垂直平分线，
∵A（-4，2），
∴设直线AB的方程为：y-2=-

1

2

（x+4），即x+2y=0，
解方程组

x+2y=0 y=2x

，得AE的中点坐标为（0，0），
∴

a-4 2 =0 2+b 2 =0

，解得a=4，b=-2，∴E（4，-2）．
（2）设C（x，2x）
∵直线y=2x是三角形ABC中∠C的平分线所在直线，
∴

(x+4)2+(2x-2)2

(x-3)2+(2x-1)2

=

|2×(-4)-2|

|2×3-1|

，
整理，得3x²-8x+4=0，
解得x=

2

3

，或x=2．
经验证x=

2

3

不能构成三角形，所以x=2，
故C点坐标为：C（2，4）．
（3）∵A（-4，2），B（3，1），C（2，4），
∴kAC=

4-2

2+4

=

1

3

，k_BC=

4-1

2-3

=-3，
∴k_AC•k_BC=

1

3

×(-1)=-1，
∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形，
∵|AC|=

(2+4)2+(4-2)2

=2

10

，
|BC|=

(3-2)2+(1-4)2

=

10

，
∴△ABC的面积=

1

2

×|AC|×|BC|=

1

2

×2

10

×

10

=10．

点评：本题考查点的坐标的求法，考查三角形面积的求法，具体涉及到直线方程、中点坐标公式、点到直线的距离、两点间距离、向量等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．