Question

已知函数f(x)=

2a+1

a

-

1

a2x

，常数a＞0．
（1）设m•n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：①取值x₁，x₂∈[m，n]；②作差f（x₁）-f（x₂）变形；③定号；④下结论；
（2）逆向运用函数单调性的定义，我们可以得到：f（m）=m，f（n）=n，转化为方程的根的问题，利用根的判别式，从而求出参数的范围．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[m，n]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1

a2

•

x1-x2

x1x2

，
因为x₁＜x₂，x₁，x₂∈[m，n]，所以x₁x₂＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，
f（x）的定义域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程

2a+1

a

-

1

a2x

=x的两个不等的正根?a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的正根．
所以△=（2a²+a）²-4a²＞0，

2a2+a

a2

＞0?a＞

1

2

点评：本题主要考查函数单调性的应用．运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）下结论．取值时，必须注意定义中的x₁、x₂具有的三个特征；变形时，一定要分解完全，对于抽象函数问题注意合理的利用条件等．