Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（4-x），又函数f（x）在[2，+∞）上单调递减．
（1）求不等式f（3x）＞f（2x-1）的解集；
（2）设（1）中不等式的解集为A，对于任意的t∈A，不等式x²+（t-2）x+1-t＞0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知f（x）=f（4-x），可得直线x=2是函数图象的对称轴，又函数f（x）在[2，+∞）单调递减我们易判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性可将不等式f（3x）＞f（2x-1）转化为一个绝对值不等式，进而得到答案．
（2）由（1）易得参数t的取值范围，根据二次函数的图象和性质，我们可以构造出关于x的不等式组，解不等式组即可求出实数x的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=f（4-x），
∴f（x）图象关于直线x=2对称，
又∵f（x）在[2，+∞）上单调递减，
∴不等式f（3x）＞f（2x-1）等价于|3x-2|＜|2x-1-2|，
∴（3x-2）²＜（2x-3）²，
∴（5x-5）（x+1）＜0，
∴-1＜x＜1，
∴不等式f（3x）＞f（2x-1）的解集为（-1，1）；
（2）令g（t）=x²+（t-2）x+1-t，
∴g（t）=（x-1）t+（x²-2x+1）是关于t的函数，
∵（1）中不等式的解集为A，
∴A=（-1，1），
∵t∈（-1，1）时，不等式x²+（t-2）x+（1-t）＞0恒成立，
∴g（t）＞0在t∈（-1，1）上恒成立，
①当x=1时，0＞0，显然不成立，
∴x=1不符合题意；
②当x≠1时，则有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
即

x2-3x+2≥0 x2-x≥0

，
∴

x≤1或x≥2 x≤0或x≥1

，
∴x≤0或x≥2．
综合①②可得，实数x的取值范围为x≤0或x≥2．

点评：本题考查了函数的对称性和函数的单调性的综合运用，抽象函数的解不等式问题，解题的关键是将不等式进行合理的转化，然后利用单调性去掉“f”．考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．