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已知复数z0=1miM0),z=xyiω=xyi,其中xyxy均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有ω=·|ω|=2|z|

)试求m的值,并分别写出xyxy表示的关系式;

)将(xy)作为点P的坐标,(xy)作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.

当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;

)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.

答案:
提示:

解:(Ⅰ)由题设,|ω|=|·|=|z0||z|=2|z|,

∴|z0|=2,

于是由1+m2=4,且m>0,得m=

因此由x′+yi=·

得关系式

(Ⅱ)设点Pxy)在直线y=x+1上,则其经变换后的点Qx′,y′)满足

消去x,得y′=(2-x′-2+2,

故点Q的轨迹方程为y=(2-x-2+2.

(Ⅲ)假设存在这样的直线,

∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,</p>

∴所求直线可设为y=kx+bk≠0).

∵该直线上的任一点Pxy),其经变换后得到的点Qxyxy)仍在该直线上,

xy=kxy)+b

即-(k+1)y=(kxb

b≠0时,方程组无解,

故这样的直线不存在.

b=0,由

k2+2k=0,

解得k=k=

故这样的直线存在,其方程为y=xy=x.


练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2000•上海)已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=
.
z0
.
z
,|w|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式;
(Ⅱ)将(x、y)作为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q,当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;
(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.

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(2000•上海)已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=
.
z0
.
z
,|w|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式:
(Ⅱ)将(x、y)用为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(
3
,2)
,试求点P的坐标;
(Ⅲ)若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上,试求k的值.

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科目:高中数学 来源:上海 题型:解答题

已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=
.
z0
.
z
,|w|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式;
(Ⅱ)将(x、y)作为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q,当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;
(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.

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科目:高中数学 来源:上海 题型:解答题

已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=
.
z0
.
z
,|w|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式:
(Ⅱ)将(x、y)用为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(
3
,2)
,试求点P的坐标;
(Ⅲ)若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上,试求k的值.

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已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi,w=x′+y′i,其中x、y、x′,y′均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=z0·z,|w|=2|z|,求m的值,并分别写出x′,y′用x、y表示的关系式.

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