Question

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数．
从[x]的定义可得下列性质：x-1＜[x]≤x＜[x+1]．
与[x]有关的另一个函数是{x}，它的定义是{x}=x-[x]，{x}称为x的“小数部分”．
（1）根据上文，求{x}的取值范围和[-5，2]的值；
（2）求[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的和．

Answer 1

分析：（1）由[x]是不超过x的最大整数，且{x}=x-[x]，能求出{x}的取值范围和[-5.2]的值．
（2）由[log₂N]=

0，1≤N＜2 1，2≤N＜ 22 2，22≤N＜ 23 … 9，29≤N＜ 210 10，N= 210

，能求出[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的和．

解答：解：（1）∵[x]是不超过x的最大整数，
且{x}=x-[x]，
∴{x}的取值范围是[0，1），
[-5.2]=-6．
（2）∵[log₂N]=

0，1≤N＜2 1，2≤N＜ 22 2，22≤N＜ 23 … 9，29≤N＜ 210 10，N= 210

，
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]
=0+1×（2²-2）+2×（2³-2²）+…+9×（2¹⁰-2⁹）+10
=8204．

点评：本题考查取整函数的定义和应用，考查对数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．