Question

已知f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）≥0，对于任意的正数a，b，若a＜b，
①af（b）≤bf（a）
②af（b）≥bf（a）
③af（a）≤bf（b）
④af（a）≥bf（b）
其中正确的是

②③

．

Answer 1

分析：分别构建函数g（x）=xf（x），h（x）=

f(x)

x

，利用xf'（x）-f（x）≥0，确定它们的单调性，从而可得结论．

解答：解：构造函数g（x）=xf（x）
∴g′（x）=xf'（x）+f（x）
∵xf'（x）-f（x）≥0，又f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数
∴g′（x）≥2f（x）≥0
∴g（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴g（a）＜g（b）
∴af（a）≤bf（b），即③正确，④错误；
构造函数h（x）=

f(x)

x

∴h′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴h′（x）≥0
∴h（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴h（a）＜h（b）
∴

f(a)

a

≤

f(b)

b

∴af（b）≥bf（a），故②正确，①错误
故答案为：②③

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查利用函数的单调性，建立不等关系，属于基础题．