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【题目】已知椭圆的离心率为,椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.

(1)求椭圆的方程;

(2)已知直线与椭圆交于两点,且与轴,轴交于两点.

(i)若,求的值;

(ii)若点的坐标为,求证:为定值.

【答案】(1) (2) (i)(ii)见解析

【解析】分析:(1)根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出a2=4,b2=2,则椭圆方程可得,

(2)(i)根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出,

(ii)根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出.

详解:(1)因为满足,由离心率为,所以

,代入.

又椭圆的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2,

,即,以上各式联立解得

则椭圆方程为

(2)(i)直线轴交点为,与轴交点为

联立消去

,则

,由

解得,由

(ii)由(i)知

所以

为定值

所以为定值.

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