A. | (0,3] | B. | (0,2)∪(2,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$] | C. | (0,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$] | D. | (2,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$] |
分析 直线y=kx+1恒过定点P(0,1),且是椭圆的短轴上顶点,因而此直线被椭圆截得的弦长,即为点P与椭圆上任意一点Q的距离,设椭圆上任意一点Q(2cosθ,sinθ),利用三角函数即可得到结论.
解答 解:直线y=kx+1恒过定点P(0,1),且是椭圆的短轴上顶点,因而此直线被椭圆截得的弦长,即为点P与椭圆上任意一点Q的距离,设椭圆上任意一点Q(2cosθ,sinθ)
∴|PQ|2=(2cosθ)2+(sinθ-1)2=-3sin2θ-2sinθ+5
∴当sinθ=-$\frac{1}{3}$时,|PQ|2max=$\frac{16}{3}$
∴|PQ|max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,直线被椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1截得的弦长范围是:(0,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
故选:C.
点评 本题考查直线与椭圆的位置关系,考查三角函数知识,解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值.
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A. | (-2,0)∪(2,+∞) | B. | (-∞,-2)∪(0,2) | C. | (-2,0)∪(0,2) | D. | (-2,2)∪(2,+∞) |
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