【题目】已知函数
.
（Ⅰ）设函数
，试讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）设函数
，求函数
的最小值.
【答案】(Ⅰ) 函数
在
上单增，在
上单减，在
上单增(Ⅱ) 
【解析】试题分析：（Ⅰ） 
， 
，讨论导函数的正负从而得函数单调性；
（Ⅱ）函数
，令
，则
，从而通过求
和
的最小值进而可得
的最小值.
试题解析：
（Ⅰ）函数
的定义域为
， 
，
故
．
令
，得
或
，
当
时， 
， 
在
上为单调增函数，
当
时， 
， 
在
上为单调减函数，
当
时， 
， 
在
上为单调增函数，
故函数
在
上单增，在
上单减，在
上单增．
（Ⅱ）函数
，
由（Ⅰ）得函数
在
上单增，在
上单减，在
上单增，
∵
时， 
，而
，
故函数
的最小值为
，
令
，得
，
当
时， 
， 
在
上为单调减函数，
当
时， 
， 
在
上为单调增函数，
∴函数
的最小值为
，
故当
时，函数
的最小值为
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系
中，过点
的直线
的参数方程为
（
为参数）.以原点
为极点， 
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
（2）若直线
与曲线
相交于
， 
两点，求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
的顶点
， 
在椭圆
上， 
在直线
上，且
．
（
）求椭圆
的离心率．
（
）当
边通过坐标原点
时，求
的长及
的面积．
（
）当
，且斜边
的长最大时，求
所在直线的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在
的矩形面积为
，
求：
分数在
的学生人数；
这50名学生成绩的中位数
精确到
；
若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设椭圆
的左焦点为F，左顶点为A，已知
，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率．
求椭圆C的方程；
是否存在斜率为
的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线
上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（已知该校学生平均每天运动的时间范围是
），如下表所示.
男生平均每天运动的时间分布情况：
女生平均每天运动的时间分布情况：
（1）假设同组中的每个数据均可用该组区间的中间值代替，请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）.
（2）若规定平均每天运动的时间不少于
的学生为“运动达人”，低于
的学生为“非运动达人”.
（ⅰ）根据样本估算该校“运动达人”的数量；
（ⅱ）请根据上述表格中的统计数据填写下面
列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“运动达人”与性别有关.
参考公式： 
，其中
.
参考数据：
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示的几何体是由以等边三角形
为底面的棱柱被平面
所截而得，已知
平面
为
的中点, 
面
．
(1)求
的长；
(2)求证：面
面
；
(3)求平面
与平面
相交所成锐角二面角的余弦值．
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