Question

已知函数f（x）=x²-2ax+1
（Ⅰ）设F（x）=

f(x)-6，x≥4 -f(x)-2，x＜4

，当a=2时，求：F（x）＞0时x的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）在（2，3）内至少有一个零点，求：a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）写出分段函数，解不等式，可得结论；
（II）分类讨论，利用f（x）在（2，3）内至少有一个零点，建立不等式，即可求a的取值范围．

解答：解：（I）当a=2时，F（x）=

f(x)-6，x≥4 -f(x)-2，x＜4

=

x2-4x-5，x≥4 -x2+4x-3，x＜4

令F（x）＞0，可得

x2-4x-5＞0 x≥4

或

x＜4 -x2+4x-3＞0

∴1＜x＜3或x＞5；
（II）①由零点存在性定理，当f（2）f（3）＜0时，f（x）在开区间（2，3）只有一个零点，
∴（5-4a）（10-6a）＜0
∴

5

4

＜a＜

5

3

②△=4a²-4=0时，a=±1，函数的零点为±1，不符合题意；
③f（2）=0，则a=

5

4

，f（x）=x²-

5

2

x+1，零点为2，

1

2

，不符合题意；
④f（3）=0，则a=

5

3

，f（x）=x²-

10

3

x+1，零点为3，

1

3

，不符合题意
⑤f（x）在（2，3）内有两个零点，则

4a2-4＞0 2＜a＜3 5-4a＞0 10-6a＞0

，无解，
综合可得a的取值范围是

5

4

＜a＜

5

3

．

点评：本题考查解不等式，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．