Question

已知函数f(x)=x2+

2

x

+alnx，a∈R
（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围
（Ⅲ）记函数g（x）=x²f'（x），若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间；
（Ⅱ）f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，利用分离参数法可得a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立，求右边函数的最大值，即可求出实数a的取值范围；
（Ⅲ）g（x）=x²f'（x）=2x³+ax-2，g′（x）=6x²+a，分类讨论求出函数的最小值点．利用g（x）的最小值是-6，可求函数f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，f(x)=x2+

2

x

-4lnx⇒f′(x)=2x-

2

x2

- 

4

x

．由函数的定义域为x＞0，
∴f'（x）＞0⇒x＞

5 +1

2

，f'（x）＜0⇒0＜x＜

5 +1

2

．
∴函数的单调递减区间为（0，

5 +1

2

），单调递增区间为（

5 +1

2

，+∞）
（Ⅱ）f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
∴a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立
令h(x)=

2

x

-2x2，x∈[1，+∞），则问题等价于a≥h（x）_max
∵h(x)=

2

x

-2x2在[1，+∞）上单调递减
∴h（x）_max=h（1）=0，∴a≥0
（Ⅲ）g（x）=x²f'（x）=2x³+ax-2，g′（x）=6x²+a
①a≥0，g，（x）=6x²+a＞0恒成立，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）没有最小值．
②a＜0，g^，（x）=6x²+a=0，∴x=

- a 6

∴函数在（0，

- a 6

）上单调递减，在（

- a 6

，+∞）上单调递增
∴g（x）在x=

- a 6

处取得最小值
∴-

a

3

- a 6

+a

- a 6

-2=-6，∴a=-6
∴f(x)=x2+

2

x

-6lnx

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的最值，考查学生等价转化问题的能力．