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已知命题P:关于x的不等式
x4-x2+1
x2
>m的解集为{x|x≠0,且x∈R};命题Q:f(x)=-(5-2m)x是减函数.若P或Q为真命题,P且Q为假命题,求实数m的取值范围?
考点:复合命题的真假
专题:简易逻辑
分析:命题P:利用基本不等式可得
x4-x2+1
x2
=x2+
1
x2
-1
≥1,由于关于x的不等式
x4-x2+1
x2
>m的解集为{x|x≠0,且x∈R},可得m<1.命题Q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,可得5-2m>1,解得m.若P或Q为真命题,P且Q为假命题,则P与Q必然一真一假.
解答: 解:命题P:由不等式
x4-x2+1
x2
=x2+
1
x2
-1
≥2
x2
1
x2
-1=1,当且仅当x=±1时取等号,
∵关于x的不等式
x4-x2+1
x2
>m的解集为{x|x≠0,且x∈R},
∴m<1.
命题Q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,∴5-2m>1,解得m<2.
若P或Q为真命题,P且Q为假命题,
∴P与Q必然一真一假.
当P真Q假时,
m<1
m≥2
,解得m∈∅;
当Q真P假时,
m≥1
m<2
,解得1≤m<2.
综上可得:实数m的取值范围是[1,2).
点评:本题考查了指数函数的单调性、基本不等式的性质、简易逻辑的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
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