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设椭圆M:(a>b>0)的离心率为,点A(0,a),B(-b,0),C(0,-a),原点O到直线AB的距离为,点P在椭圆M上(与A,C均不重合),点D在直线PC上,若直线PA的方程为x=my-4,且=0.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)求直线BD的方程.

【答案】分析:(Ⅰ)由e2===1-=,得a=b.由点A(0,a),B(-b,0),知直线AB的方程为4x-3y+4b=0,由原点O到直线AB的距离==,知b=3,由此能求出椭圆方程.
(Ⅱ)由A(0,4),B(-3,0),直线lPA:x=my-4,知m=1,即lPA:x-y+4=0,设P(x,y),则x2==(16-y2),kPC•kPA=×===-.由此入手能够求出直线BD的方程.
解答:解:(Ⅰ)由e2===1-=,得a=b(2分)
由点A(0,a),B(-b,0)知直线AB的方程为+=1,即lAB:4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离==,∴b=3,(4分)
∴b2=9,a2=16
从而椭圆M的方程为:.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得A(0,4),B(-3,0),而直线lPA:x=my-4,∴4m-4=0,⇒m=1,
即lPA:x-y+4=0,(6分)
设P(x,y),则,∴x2==(16-y2
kPC•kPA=×===-
∴kPC=-=--,(9分)
=0,∴kPCkBD=-1,即kBD=-=,(11分)
又B(-3,0),∴直线BD的方程为y=(x+3)即9x-16y+27=0(12分)
注:本问也可先求出P点坐标,再求直线方程.
点评:本题考查椭圆方程和直线方程的求法,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,灵活运用椭圆性质,合理进行等价转化.
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